home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter7.2p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-13  |  18.5 KB  |  782 lines
  1. à 7.2èPower Series Solution Near an Ordïary Poït
  2.  
  3. äè Fïd all sïgular poïts
  4.  
  5. â    èèForè (xì - 4x + 3)y»» + (3 - x)y» - xìy = 0
  6.     The coefficient ç y»» can be facëred ë
  7.     èè xì - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) 
  8.     so it is seen that x = 1 å x = 3 make ê coefficient ç
  9.     y»» equal ë zero å hence are ê two sïgular poïts
  10.  
  11. éS    èè In ê remaïder ç this chapter, we will consider POWER 
  12. èèèèSERIES SOLUTIONS ç second order, lïear equations.èAs stated    
  13.     ï Chapter 4, TWO LINEARLY INDEPENDENT solutions are needed.
  14.     If êse solutions are ï closed form, êir lïear ïdep-
  15.     dence is checked by computïg ê Wronskian as ï Section 4.1
  16.     If ê lïearly ïdependent solutions are y¬ å y½, ê
  17.     general solution is
  18.         y = C¬y¬ + C½y½
  19.  
  20.     èèThe ståard form ç a second order, lïear differential
  21.     equation is
  22.         èè P(x)y»» + Q(x)y» + R(x)y = 0
  23.  
  24.     It is assumed that all facërs common ë ê P, Q, å R have
  25.     been canceled.
  26.  
  27.     èèIf ê entire differential equation is divided by P(x)
  28.     it yields
  29.         èèè Q(x)èèèè R(x)
  30.         y»» + ────── y»è+ ────── y = 0
  31.         èèè P(x)èèèè P(x)
  32.  
  33.     which can be written ï a simpler form if ê defïitions
  34.         èèèèQ(x)èèèèèè R(x)
  35.         q(x) = ──────èèr(x) = ──────
  36.         èèèèP(x)èèèèèè P(x)
  37.  
  38.     are made. The differential equation can be written as
  39.  
  40.         y»» + q(x)y» + r(x)y = 0
  41.  
  42.     è When writtïg ê differential equaën ï this form, it
  43.     is seen that wheneverèP(x) = 0, êre will be division by
  44.     zero.èPoïts at which P(x) = 0 are called SINGULAR POINTS,
  45.     while ê remaïïg values ç x for which P(x) ƒ 0 are called
  46.     ORDINARY POINTS.
  47.  
  48.  1    xìy»» - 3xy» + 4y = 0
  49.  
  50.     A)    no sïgular poïts    B)    x = 0
  51.  
  52.     C)    x = 3            D)    x = -4
  53.  
  54. ü        The coefficient ç y»» is xì.èSettïg it ë zero
  55.     i.e.èxì = 0 produces only ê one root x = 0 which is ê
  56.     only sïgular poït.
  57.  
  58. ÇèB
  59.  
  60.  2    (xì + 1)y»» + 3xy» + 4y = 0
  61.  
  62.     A)    No sïgular poïts    B)    x = -1
  63.  
  64.     C)    x = 1            D)    x = -1 å 1
  65.  
  66. ü        The coefficient ç y»» isèxì + 1.èSettïg it ë
  67.     zero i.e.èxì + 1 = 0èproduces only ê complex conjugate roots
  68.     x = ±i, so êre are no sïgular poïts.
  69.  
  70. ÇèA
  71.  
  72. è3è    (xì - 1)y»» + 3xy» + 4y = 0
  73.  
  74.     A)    No sïgular poïts    B)    x = -1
  75.  
  76.     C)    x = 1            D)    x = -1 å 1
  77.  
  78. ü        The coefficient ç y»» isèxì - 1.èSettïg it ë
  79.     zero i.e.èxì - 1 = 0, it is seen that it facërs ïë
  80.     èè(x - 1)(x + 1) = 0èwhich has ê solutions x = -1
  81.     å x = 1.èThus ê sïgular poïts are x = -1 å 1.
  82.  
  83. Ç D 
  84.  
  85. ä    Solve ê differential equation usïg power series
  86.     techniques givïg only ê first three non-zero terms.
  87.     
  88.  
  89. â    è Forèy»» + 4y = 0èabout x = 0,èSubstitution ç Σ a┬xⁿ
  90.     yieldsè∞
  91.     èèèèΣè[ (n+2)(n+1)a┬╟½ + 4a┬ ] xⁿ.è
  92.     èèè n=0            èèèThe recursion relation
  93.     isè (n+2)(n+1)a┬╟½ + 4a┬ = 0èorèa┬╟½ = -4/(n+1)(n+2) a┬
  94.     Substiution yields ê general solution
  95.     y = a╠(1 - 1/3 xì + 2/105 xÅ + ) + a¬(x - 2/3 xÄ + 2/15 xÉ - )
  96.  
  97. éS    èFor ê lïear, second order differential equation,
  98.  
  99.         P(x)y»» + Q(x)y» + R(x)y = 0,
  100.  
  101.     if x╠ is an ORDINARY POINT i.e. P(x╠) ƒ 0, ên êre is an
  102.     ïterval about x╠ for whichèq(x) = Q(x)/P(x) å
  103.     r(x) = R(x)/P(x) will be contïuous.èThus, ï this ïterval
  104.     ê Initial Value Problem
  105.  
  106.         y»» + q(x)y» + r(x)y = 0
  107.         y(x╙)è=èy╙
  108.         y»(x╙) =èy»╙
  109.     
  110.     will be guaranteed a unique solution.èThus if we can fïd
  111.     a general solution by POWER SERIES techniques, it can be
  112.     used ë get a specific solution ë ê ïitial value problem.
  113.  
  114.     èèThe technique will assume a power series solution about
  115.     x = 0 which simplifies ê computation.èWhen ê expansion
  116.     is about x = x╙, ê SUBSTITUTION v = x - x╙èi.e. x = v + x╙
  117.     will convert ê problem ë one about x = 0.èWhen this 
  118.     problem is solved, convert back ë x as ê variable ë get
  119.     ê general solution ï terms ç ê desired variable.èThis 
  120.     is illustrated ï Problems 4 å 6.
  121.  
  122.     èèThe method for fïdïg a POWER SERIES SOLUTION ABOUT AN 
  123.     ORDINARY POINT is as follows:
  124.  
  125.     1)    Assume a solution ç ê form
  126.     èèèèèèè∞
  127.         yè=èΣèa┬xⁿ
  128.     èèèèèè n=0    
  129.  
  130.     2)    Differentiate term-by-term twice
  131.         èèè∞
  132.         y» =èΣèna┬xⁿúî
  133.         èè n=1è
  134.  
  135.         èèè∞
  136.         y»» = Σèn(n-1)a┬xⁿú²
  137.         èè n=2
  138.  
  139.     3)    Substitute êse expressions for y, y», y»» ïë
  140.         ê differential equation
  141.  
  142.     4)    Adjust ê summation ïdices ç ê sums (see 
  143.         Section 7.1) so that êy all start at zero.èThis
  144.         produces a sum ç ê form
  145.  
  146.     èèèè∞
  147.     èèèèΣè[ expression ] xⁿè= 0
  148.     èèè n=0
  149.  
  150.         For this summatation ë be valid for all x, ê
  151.         expression is brackets must equal zero.èThis
  152.         produces ê RECURSION RELATION.èThis recursion
  153.         relation can ên be rearranged ë yield ê value
  154.         ç a coefficient a┬ ï terms ç one or two ç its 
  155.         predecessors back ï ê sequence.èThey, ï turn,
  156.         depend on êir predecessors until ê process
  157.         eventully sëps ï terms ç a╠ or a¬.è
  158.  
  159.     5)    These will serve as ê arbitrary constants needed 
  160.         ï a general solution ç a second order differential 
  161.         equation which can be written as
  162.             y = a╠y¬ + a¬y½
  163.         where y¬ å y½ are ê power series associated with
  164.         each constant.
  165.  
  166.     6)    The ïterval ç convergence ç ê general 
  167.         solution will be ê smaller ç ê ïtervals for
  168.         y¬ å y½.èIf term n can be written as a function
  169.         ç n alone, êse ïtervals can be calculated as ï
  170.         Section 7.1
  171.  
  172.     Consider
  173.         èèy»» + 4y = 0èexpåed about x = 0
  174.  
  175.     The solution å its derivatives are
  176.         èèè∞
  177.         yè=èΣèa┬xⁿ
  178.     èèèèèè n=0    
  179.  
  180.         èèè∞
  181.         y» =èΣèna┬xⁿúî
  182.         èè n=1è
  183.  
  184.         èèè∞
  185.         y»» = Σèn(n-1)a┬xⁿú²
  186.         èè n=2
  187.  
  188.     Substitutïg ïè y»» + 4y = 0è
  189.         
  190.     èèè∞    èèèèèèèèèè ∞
  191.     èèèΣèn(n-1)a┬xⁿú²è+è4èΣ a┬xⁿ = 0
  192.     èè n=2èèèèèèèèèèn=0
  193.  
  194.     Changïg ê summation ïdex on ê first sum yields
  195.  
  196.     èèè∞    èèèèèèèèèèèè ∞
  197.     èèèΣè(n+2)(n+1)a┬╟½xⁿè+è4èΣ a┬xⁿ = 0
  198.     èè n=0èèèèèèèèèèèèn=0
  199.     Or
  200.     èèè∞     í         èèèè┐
  201.     èèèΣè▒ (n+2)(n+1)a┬╟½ + 4a┬ ▒xⁿ = 0
  202.     èè n=0 └    èèèè    ┘
  203.  
  204.     Settïg ê expression ï ê bracket ë zero
  205.  
  206.         (n+2)(n+1)a┬╟½ + 4a┬ = 0
  207.  
  208.     Rearrangïg gives ê RECURSION RELATION
  209.         èèèèèèè 4
  210.         a┬╟½ = - ──────────── a┬èèn ≥ 0
  211.         èèèèè(n+2)(n+1)
  212.  
  213.     Solvïg for ê first coefficients
  214.     èèèènèèèèèèèèa┬
  215.     èèè ───èèèèèèè────
  216.     èèèè0    a½ = - 4/(2)(1) a╠ = - 2 a╠
  217.  
  218.     èèèè1    a¼ = - 4/(3)(2) a¬ = - 2/3 a¬
  219.  
  220.     èèèè2    a« = - 4/(4)(3) a½ = - 1/3 a½ = + 2/3 a╠
  221.  
  222.     èèèè3    a╘ = - 4/(5)(4) a¼ = - 1/5 a¼ = 2/15 a¬
  223.  
  224.     èèThus, through 3 non-zero terms ç each series, ê general 
  225.     solution is
  226.  
  227.         y =è a╙ [ 1 - 2 xì + 2/3 xÅ - ∙∙∙ ]
  228.  
  229.         èè+ a¬ [ x - 2/3 xÄ + 2/15 xÉ - ∙∙∙ ]
  230.  
  231.     èè This solution can be rewritten as
  232.  
  233.         y =è C¬ [ 1 - (2x)ì/2! + (2x)Å/4! - ∙∙∙ ]
  234.  
  235.         èè+ C½ [ (2x) - (2x)Ä/3! + (2x)É/5! - ∙∙∙ ]
  236.  
  237.     These are known Taylor series so ê general solution is
  238.  
  239.         y = C¬cos[2x] + C½sï[2x]
  240.  
  241.     which is ê same as would be found by ê lïear, constant
  242.     coefficient method ç Section 3.3.
  243.  
  244.  4    y»» - 4y = 0èabout x = 0
  245.  
  246.     A)è a╙[ 1 + 2 xì + 2/3 xÅ] + a¬[ x + 2/3 xÄ + 2/15 xÉ]
  247.     B)è a╙[ 1 + 1/2 xì + 1/24 xÅ] + a¬[ x - 1/6 xÄ + 1/120 xÉ]
  248.     C)è a╙[ 1 - 1/2 xì + 1/24 xÅ] + a¬[ x + 1/6 xÄ + 1/120 xÉ]
  249.     D)è a╙[ 1 - 1/2 xì + 1/24 xÅ] + a¬[ x - 1/6 xÄ + 1/120 xÉ]
  250.  
  251. ü    è The solution å its derivatives are
  252.         èèè∞
  253.         yè=èΣèa┬xⁿ
  254.     èèèèèè n=0    
  255.  
  256.         èèè∞
  257.         y» =èΣèna┬xⁿúî
  258.         èè n=1è
  259.  
  260.         èèè∞
  261.         y»» = Σèn(n-1)a┬xⁿú²
  262.         èè n=2
  263.  
  264.     Substitutïg ïè y»» - 4y = 0è
  265.         
  266.     èèè∞    èèèèèèèèèè ∞
  267.     èèèΣèn(n-1)a┬xⁿú²è-è4èΣ a┬xⁿ = 0
  268.     èè n=2èèèèèèèèèèn=0
  269.  
  270.     Changïg ê summation ïdex on ê first sum yields
  271.  
  272.  
  273.     èèè∞èèèèèèèèèèèèè∞
  274.     èèèΣè(n+2)(n+1)a┬╟½xⁿè-è4èΣ a┬xⁿ = 0
  275.     èè n=0èèèèèèèèèèèèn=0
  276.     Or
  277.     èèè∞     íèèèèèèèèèèè┐
  278.     èèèΣè▒ (n+2)(n+1)a┬╟½ - 4a┬ ▒xⁿ = 0
  279.     èè n=0 └èèèèèèèèèèè┘
  280.  
  281.     Settïg ê expression ï ê bracket ë zero
  282.  
  283.         (n+2)(n+1)a┬╟½ - 4a┬ = 0
  284.  
  285.     Rearrangïg gives ê RECURSION RELATION
  286.         èèèèèèè4
  287.         a┬╟½ =è──────────── a┬èèn ≥ 0
  288.         èèèè (n+2)(n+1)
  289.  
  290.     Solvïg for ê first coefficients
  291.     èèèènèèèèèèèèa┬
  292.     èèè ───èèèèèèè────
  293.     èèèè0    a½ =è4/(2)(1) a╠ =è2 a╠
  294.  
  295.     èèèè1    a¼ =è4/(3)(2) a¬ =è2/3 a¬
  296.  
  297.     èèèè2    a« =è4/(4)(3) a½ =è1/3 a½ = + 2/3 a╠
  298.  
  299.     èèèè3    a╘ =è4/(5)(4) a¼ =è1/5 a¼ = 2/15 a¬
  300.  
  301.     èèThus, through 3 non-zero ç each series, ê general 
  302.     solution is
  303.  
  304.         y =è a╙ [ 1 + 2 xì + 2/3 xÅ - ∙∙∙ ]
  305.  
  306.         èè+ a¬ [ x + 2/3 xÄ + 2/15 xÉ - ∙∙∙ ]
  307.  
  308. ÇèA
  309.  
  310.  5    y»» + xìy = 0
  311.  
  312.     A)è a╠[1 + 1/12 xÅ + 1/672 xô] + a¬[x + 1/20 xÉ + 1/1440 xö]
  313.     B)è a╠[1 + 1/12 xÅ + 1/672 xô] + a¬[x - 1/20 xÉ + 1/1440 xö]
  314.     C)è a╠[1 - 1/12 xÅ + 1/672 xô] + a¬[x + 1/20 xÉ + 1/1440 xö]
  315.     D)è a╠[1 - 1/12 xÅ + 1/672 xô] + a¬[x - 1/20 xÉ + 1/1440 xö]
  316.  
  317. ü    è The solution å its derivatives are
  318.         èèè∞
  319.         yè=èΣèa┬xⁿ
  320.     èèèèèè n=0    
  321.  
  322.         èèè∞
  323.         y» =èΣèna┬xⁿúî
  324.         èè n=1è
  325.  
  326.         èèè∞
  327.         y»» = Σèn(n-1)a┬xⁿú²
  328.         èè n=2
  329.  
  330.     Substitutïg ïè y»» + xìy = 0è
  331.         
  332.     èèè∞    èèèèèèèèèè ∞
  333.     èèèΣèn(n-1)a┬xⁿú²è+èxì Σ a┬xⁿ = 0
  334.     èè n=2èèèèèèèèèèn=0
  335.  
  336.     Changïg ê summation ïdex on ê two sums so ê power
  337.     ç x will be n yields
  338. èèèè 
  339.     èèè∞èèèèèèèèèèè ∞
  340.     èèèΣè(n+2)(n+1)a┬╟½xⁿè+èΣ a┬▀½xⁿ = 0
  341.     èè n=0èèèèèèèèèè n=2
  342.     Or
  343.     èèè    èèèèè ∞èí    èèèèèèèèèèè┐
  344.     èè 2a½ + 6a¼x +èΣè▒ (n+2)(n+1)a┬╟½ + a┬▀½ ▒xⁿ = 0
  345.     èè     èèèèèn=2 └èèèèèèèèèèè ┘
  346.  
  347.     The first two terms must be zero for all x which requires
  348.     that
  349.             a½ = 0è åè a¼ = 0
  350.  
  351.     Settïg ê expression ï ê bracket ë zero
  352.  
  353.         (n+2)(n+1)a┬╟½ + a┬▀½ = 0
  354.  
  355.     Rearrangïg gives ê RECURSION RELATION
  356.         èèèèèèè1
  357.         a┬╟½ = - ──────────── a┬▀½èèn ≥ 2
  358.         èèèèè(n+2)(n+1)
  359.  
  360.     Solvïg for ê first coefficients
  361.     èèèènèèèèèèèèa┬
  362.     èèè ───èèèèèèè────
  363.     èèèè2    a« =è- 1/(4)(3) a╠ = - 1/12 a╠
  364.  
  365.     èèèè3    a╘ =è- 1/(5)(4) a¬ = - 1/20 a¬
  366.  
  367.     èèèè4    a╒ =è- 1/(6)(5) a½ = - 1/30 a½ = 0
  368.  
  369.     èèèè5    a7 =è- 1/(7)(6) a¼ = - 1/42 a¼ = 0
  370.  
  371.     èèèè6    a8 =è- 1/(8)(7) a« = - 1/56 a« = 1/672 a╠
  372.  
  373.     èèèè7    a9 =è- 1/(9)(8) a╘ = - 1/72 a╘ = 1/1440 a1
  374.  
  375.     èèThus, through 3 non-zero terms ç each series, ê 
  376.     general solution is
  377.  
  378.         y =è a╙ [ 1 - 1/12 xÅ + 1/672 xô - ∙∙∙ ]
  379.  
  380.         èè+ a¬ [ x - 1/20 xÉ + 1/1440 xö - ∙∙∙ ]
  381.  
  382. ÇèD
  383.  
  384.  6    (1 + xì) y»»è+èxy»è-èyè=è0
  385.  
  386.     A)    a╠[ 1 + 1/2 xì + 1/8 xÅ] + a¬[x + 1/4 xÄ + 1/16 xÉ]
  387.     B)è     a╠[ 1 - 1/2 xì + 1/8 xÅ] + a¬[x - 1/4 xÄ + 1/16 xÉ]
  388.     C)    a╠[ 1 + 1/2 xì - 1/8 xÅ] + a¬[x + 1/4 xÄ - 1/16 xÉ]
  389.     D)    a╠[ 1 + 1/2 xì - 1/8 xÅ] + a¬x 
  390.  
  391. ü    è The solution å its derivatives are
  392.         èèè∞
  393.         yè=èΣèa┬xⁿ
  394.     èèèèèè n=0    
  395.  
  396.         èèè∞
  397.         y» =èΣèna┬xⁿúî
  398.         èè n=1è
  399.  
  400.         èèè∞
  401.         y»» = Σèn(n-1)a┬xⁿú²
  402.         èè n=2
  403.  
  404.     Substitutïg ïè (1 + xì)y»» + xy» - y = 0è
  405.         
  406.     èèèè ∞èèèèèèèèè ∞èèèèè ∞
  407.     (1 + xì) Σèn(n-1)a┬xⁿú² + x Σ na┬xⁿúî - Σ a┬xⁿ = 0
  408.     èèèèn=2èèèèèèèè n=1èèèè n=0
  409.  
  410.     Changïg ê summation ïdices å multiplyïg yields
  411.  
  412.  
  413. èèè∞    èèèèèèèèèè▄èèèèèèè∞èèèèè▄
  414. èèèΣè(n+2)(n+1)a┬╟½xⁿ + Σ n(n-1)a┬xⁿ + Σ na┬xⁿ -èΣ a┬xⁿ = 0
  415. èè n=0èèèèèèèèè n=2èèèèèèn=1èèèèn=0
  416.  
  417.     Takïg out all terms with ïdices less than 2 leaves
  418.                 è
  419. èè     èè2a½ + 6a¼x + a¬x - a╠ - a¬ 
  420.         è▄
  421.         + Σ [ (n+2)(n+1)a┬╟½ + n(n-1)a┬ + na┬ - a┬ ] xⁿ = 0
  422.          n=2 
  423.     Simplifyïg
  424.     èèèèèèèèè▄
  425.     2a½ - a╙ + 6a¼x + Σ [ (n+2)(n+1)a┬╟½ + (nì+1)a┬ ] xⁿ = 0
  426.     èèèèèèèè n=2
  427.     
  428.     The constant terms must add ë zero å ê coefficient ç
  429.     ç x must be zero for all x which requires
  430.     that
  431.             2a½ - a╠ = 0è i.e. a½ = 1/2 a╠
  432.  
  433.             åè6a¼ = 0è i.e. a¼ = 0
  434.  
  435.     Settïg ê expression ï ê bracket ë zero
  436.  
  437.         (n+2)(n+1)a┬╟½ + (nì+1)a┬ = 0
  438.  
  439.     Rearrangïg gives ê RECURSION RELATION
  440.         èèèèèè nì-1
  441.         a┬╟½ = - ──────────── a┬èèn ≥ 2
  442.         èèèèè(n+2)(n+1)
  443.  
  444.     Facërïg å cancellïg yields
  445.         èè     èn-1
  446.         a┬╟½ = - ───── a┬èèn ≥ 2
  447.         èèèèèn+2
  448.     Solvïg for ê first coefficients
  449.     èèèènèèèèèèèèa┬
  450.     èèè ───èèèèèèè────
  451.     èèèè2    a« =è- 1/4 a½ = -1/8 a╠
  452.  
  453.     èèèè3    a╘ =è- 2/5 a¼ = 0
  454.  
  455.     èèèè4    a╒ =è- 3/6 a« = 1/16 a╠
  456.  
  457.     èèThus, one series termïated after ê first term å 
  458.     through 3 non-zero terms ç each series, ê general 
  459.     solution is
  460.  
  461.         y =è a╙ [ 1 + 1/2 xì - 1/8 xÅ + ∙∙∙ ] + a¬x
  462.  
  463. ÇèD
  464.  
  465.  7    y»» + (x+1)y» + y = 0èabout x = -2
  466.     A)è a╙[1 + 1/2 xì + 1/6 xÄ] + a¬[x + 1/2 xì + 1/6 xÄ]
  467.     B)è a╙[1 - 1/2 xì - 1/6 xÄ] + a¬[x - 1/2 xì + 1/6 xÄ]
  468.     C)è a╙[1 + 1/2(x+2)ì + 1/6(x+2)Ä] 
  469.         + a¬[x+2 + 1/2(x+2)ì + 1/6(x+2)Ä]
  470.     D)è a╙[1 - 1/2(x+2)ì - 1/6(x+2)Ä] 
  471.         + a¬[x+2 - 1/2(x+2)ì + 1/6(x+2)Ä]
  472.  
  473. ü    è As ê solution is ë be about x = -2, all values must
  474.     be written ï terms çèx + 2è.èFirst convert ë ê
  475.     variableèv = x + 2 .èThen ê coefficient ç y» x + 1 is
  476.     converted ë x + 1 = x + 2 - 1 = v - 1
  477.  
  478. The solution å its derivatives are
  479.         èèè∞
  480.         yè=èΣèa┬vⁿ
  481.     èèèèèè n=0    
  482.  
  483.         èèè∞
  484.         y» =èΣèna┬vⁿúî
  485.         èè n=1è
  486.  
  487.         èèè∞
  488.         y»» = Σèn(n-1)a┬vⁿú²
  489.         èè n=2
  490.  
  491.     Substitutïg ïèy»» + (x+1)y» + y = 0 å convertïg ë
  492.     ê variable v
  493.  
  494.         
  495.          ∞èèèèèèèèèèèè ∞èèèèè ∞
  496.     èèèè Σèn(n-1)a┬vⁿú² + (v - 1) Σ na┬vⁿúî + Σ a┬vⁿ = 0
  497.     èèèèn=2èèèèèèèèèèè n=1èèèè n=0
  498.  
  499.     Changïg ê summation ïdices å multiplyïg yields
  500.  
  501.  
  502. èèè∞èèèèèèèèèè ▄èèèè ∞èèèèèèèè▄
  503. èèèΣè(n+2)(n+1)a┬╟½xⁿ + Σ na┬vⁿ - Σ (n+1)a┬╟¬vⁿ +èΣ a┬vⁿ = 0
  504. èè n=0èèèèèèèèè n=0èèè n=0èèèèèèèn=0
  505.  
  506.     Or    
  507.     èè ▄
  508.     èè Σ [ (n+2)(n+1)a┬╟½ + na┬ - (n+1)a┬╟¬ + a┬ ] vⁿ = 0
  509.     èèn=0 
  510.     Simplifyïg
  511.     èè▄
  512.     èèΣ [ (n+2)(n+1)a┬╟½ + (n+1)[a┬ - a┬╟¬] ] vⁿ = 0
  513. èèèèè n=0
  514.     
  515.     The coefficient ç x must be zero for all x which requires
  516.     that settïg ê expression ï ê bracket ë zero
  517.  
  518.         (n+2)(n+1)a┬╟½ + (n+1)[a┬ - a┬╟¬] = 0
  519.  
  520.     Rearrangïg gives ê RECURSION RELATION
  521.         èèèèèè n+1
  522.         a┬╟½ = - ──────────── [a┬ - a┬╟¬]èèn ≥ 0
  523.         èèèèè(n+2)(n+1)
  524.  
  525.     Cancellïg yields
  526.         èèèèè 1
  527.         a┬╟½ = - ───── [a┬ - a┬╟¬]èèn ≥ 0
  528.         èèèèèn+2
  529.  
  530.     Solvïg for ê first coefficients
  531.     èèèènèèèèèèèèa┬
  532.     èèè ───èè     èèèè────
  533.     èèèè0    a½ =è- 1/2 [a╠ - a¬] = -1/2 a╠ + 1/2 a¬
  534.  
  535.     èèèè1    a¼ =è- 1/3 [a¬ - a½] = -1/3 a¬ + 1/3 a½
  536.             è =è-1/3 a¬ - 1/6 a╠ + 1/6 a¬
  537.             è =è-1/6 a╠ - 1/6 a¬
  538.  
  539.     èèIn this case, ê recursion relation has two predecessor
  540.     so, ê computation is messier.     Through 3 non-zero terms 
  541.     ï each series, ê general solution ï v is
  542.  
  543.         y =è a╙ [ 1 - 1/2 vì - 1/6 vÄ + ∙∙∙ ] 
  544.  
  545.         èè+ a¬ [ v + 1/2 vì - 1/6 vÄ + ∙∙∙ ]
  546.  
  547.     èè This must be converted back ë ê origïal variable
  548.     x by ê transformation v = x + 2 which gives ê general
  549.     solution
  550.  
  551.         y =è a╙ [ 1 - 1/2 (x+2)ì - 1/6 (x+2)Ä + ∙∙∙ ] 
  552.  
  553.         èè+ a¬ [ x+2 + 1/2 (x+2)ì - 1/6 (x+2)Ä + ∙∙∙ ]
  554.  
  555. ÇèD
  556.  
  557. äè Solve ê ïitial value problem.
  558.  
  559. â    è Forèy»» + 4y = 0èabout x = 0,èy(0) = 3; y»(0) = -2
  560.     Substitutïg ç Σ a┬xⁿ yields ê recursion relation
  561.     èa┬╟½ = -4/(n+1)(n+2) a┬è    The general solution is
  562. èèè     y = a╠[1 - 1/3 xì + 2/105 xÅ -] + a¬[x - 2/3 xÄ + 2/15 xÉ - ]
  563. èèèèy» = a╙[ - 2/3 x + 8/105 xÄ - ] + a¬[ 1 - 2xì + 2/3 xÅ - ]
  564.     y(0) = a╠ = 3 å y»(0) = a¬ = -2 so ê specific solution is
  565. è    y = 3[1 - 1/3 xì + 2/105 xÅ - ] - 2[x - 2/3 xÄ + 2/15 xÉ - ]
  566.  
  567. éS    èTo solve an Initial Value Problem 
  568.         P(x)y»» + Q(x)y» + R(x)y = 0è 
  569.         y(x╠) = y╠ ; y»(x╠) = y»╠    
  570.     has two stages.
  571.     1)    Fïd a general solution ç ê differential equation.
  572.         As this is a second order, differential equation,
  573.         ê general solution will have TWO ARBITRARY CONSTANTS
  574.     2)    Substitute ê INITIAL VALUE ç ê ïdependent
  575.         variable ïë ê general solution å its deriviative
  576.         å set êm equal ë ê TWO INITIAL CONDITIONS.èThis
  577.         produces two lïear equations ï two unknowns (ê
  578.         arbitrary constants).èSolvïg this system yields ê
  579.         value ç ê constants å ê solution ç ê ïitial
  580.         value problem.èIt should be noted that as ê soluën
  581.         will probably be a power series solution, ê differ-
  582.         entiation must be done term-by-term å that ê
  583.         ïitial values ç ê ïdependent variable need ë
  584.         be at x╠ ë make all but a few terms ç ê power 
  585.         seriesèzero i.e. if ê expansion is ï terms
  586.         ç (x-x╠)ⁿ evaluatïg at x╠ will make êse terms 0.
  587.     
  588.  8    y»» - 4y = 0
  589.         y(0)è=è2
  590.         y»(0) = -4
  591.     A)è 2[ 1 + 1/6 xÄ + 1/180 xæ ] + 4[ x - 1/12 xÅ - 1/504 xÆ ]
  592.     B)è 2[ 1 + 1/6 xÄ + 1/180 xæ ] - 4[ x - 1/12 xÅ - 1/504 xÆ ]
  593.     C)è -2[ 1 + 1/6 xÄ + 1/180 xæ ] + 4[ x - 1/12 xÅ - 1/504 xÆ]
  594.     D)è -2[ 1 + 1/6 xÄ + 1/180 xæ ] - 4[ x - 1/12 xÅ - 1/504 xÆ]
  595.  
  596. ü    è The solution å its derivatives are
  597.         èèè∞
  598.         yè=èΣèa┬xⁿ
  599.     èèèèèè n=0    
  600.  
  601.         èèè∞
  602.         y» =èΣèna┬xⁿúî
  603.         èè n=1è
  604.  
  605.         èèè∞
  606.         y»» = Σèn(n-1)a┬xⁿú²
  607.         èè n=2
  608.  
  609.     Substitutïg ïè y»» - xy = 0è
  610.         
  611.     èèè∞    èèèèèèèèè ∞
  612.     èèèΣèn(n-1)a┬xⁿú²è- x Σ a┬xⁿ = 0
  613.     èè n=2èèèèèèèèèn=0
  614.  
  615.     Changïg ê summation ïdex on ê sums so that ê power
  616.     ç x will be n yields
  617.  
  618.     èèè∞èèèèèèèèèèè ∞
  619.     èèèΣè(n+2)(n+1)a┬╟½xⁿè-èΣ a┬▀¬xⁿ = 0
  620.     èè n=0èèèèèèèèèè n=1
  621.     Or
  622.     èèèèèè ∞èíèèèèèèèèèèè ┐
  623.     èè 2a½è+èΣè▒ (n+2)(n+1)a┬╟½ - a┬▀¬ ▒xⁿ = 0
  624. èèèèèèèèèèn=1 └èèèèèèèèèèè ┘
  625.  
  626.     The first terms must be zero which requires that
  627.  
  628.             a½ = 0è 
  629.  
  630.     Settïg ê expression ï ê bracket ë zero
  631.  
  632.         (n+2)(n+1)a┬╟½ - a┬▀¬ = 0
  633.  
  634.     Rearrangïg gives ê RECURSION RELATION
  635.         èèèèèèè1
  636.         a┬╟½ =è──────────── a┬▀¬èèn ≥ 1
  637.         èèèèè(n+2)(n+1)
  638.  
  639.     Solvïg for ê first coefficients
  640.     èèèènèèèèèèèèa┬
  641.     èèè ───èèèèèèè────
  642.     èèèè1    a¼ =è1/(3)(2) a╠ = 1/6 a╠
  643.  
  644.     èèèè2    a« =è1/(4)(3) a¬ = 1/12 a¬
  645.  
  646.     èèèè3    a╘ =è1/(5)(4) a½ = 1/20 a½ = 0
  647.  
  648.     èèèè4    a╒ =è1/(6)(5) a¼ = 1/30 a¼ = 1/180 a╠
  649.  
  650.     èèèè5    a7 =è1/(7)(6) a« = 1/42 a« = 1/504 a¬
  651.  
  652.     èèThus, through 3 non-zero terms ç each series, ê 
  653.     general solution is
  654.  
  655.         y =è a╙ [ 1 + 1/6 xÄ + 1/180 xæ - ∙∙∙ ]
  656.  
  657.         èè+ a¬ [ x + 1/12 xÅ + 1/504 xÆ - ∙∙∙ ]
  658.  
  659.     To evaluate ê constants, differentiate ê general solution
  660.     term-by-term
  661.  
  662.         y» =è a╙ [ 1/2 xì + 1/30 xÉ - ∙∙∙ ]
  663.  
  664.         èè + a¬ [ 1 + 1/3 xÄ + 1/72 xæ - ∙∙∙ ]
  665.     
  666.         y(0)è= a╙ = 2
  667.  
  668.         y»(0) = a¬ = -4
  669.  
  670.     Thus ê specific solution is
  671.  
  672.         y =è 2 [ 1 + 1/6 xÄ + 1/180 xæ - ∙∙∙ ]
  673.  
  674.         èè- 4 [ x + 1/12 xÅ + 1/504 xÆ - ∙∙∙ ]
  675.  
  676. ÇèB
  677.  
  678.  9    y»» - (x+1)y» = 0
  679.         y(0) = -3
  680.         y»(0) = 7
  681.     A)    3 + 7 [ (x+1) + 1/6 (x+1)Ä + (x+1)É + ]
  682.     B)    3 - 7 [ (x+1) + 1/6 (x+1)Ä + (x+1)É + ]
  683.     C)    -3 + 7 [ (x+1) + 1/6 (x+1)Ä + (x+1)É + ]
  684.     D)    -3 - 7 [ (x+1) + 1/6 (x+1)Ä + (x+1)É + ]
  685.  
  686. ü    è As ê solution is ë be about x = -1, all values must
  687.     be written ï terms çèx + 1è.èThe transformation
  688.     variable isèv = x + 1 .èThe coefficient ç y» x + 1 is
  689.     already ï ê proper form.
  690.  
  691.     The solution å its derivatives are
  692.         èèè∞
  693.         yè=èΣèa┬vⁿ
  694.     èèèèèè n=0    
  695.  
  696.         èèè∞
  697.         y» =èΣèna┬vⁿúî
  698.         èè n=1è
  699.  
  700.         èèè∞
  701.         y»» = Σèn(n-1)a┬vⁿú²
  702.         èè n=2
  703.  
  704.     Substitutïg ïèy»» - (x+1)y» = 0 å convertïg ë
  705.     ê variable v
  706.  
  707.         
  708.          ∞èèèèèèèèè ∞è    
  709.     èèèè Σèn(n-1)a┬vⁿú² - v Σ na┬vⁿúîè=è0 
  710.     èèèèn=2èèèèèèèè n=1    èèè
  711.  
  712.     Changïg ê summation ïdices å multiplyïg yields
  713.  
  714.          ∞èèèèèèèèèè ▄èèè 
  715.     èèèè Σè(n+2)(n+1)a┬╟½xⁿ - Σ na┬vⁿè= 0
  716.     èè     n=0èèèèèèèèè n=1èèè
  717.  
  718.     Simplifyïg
  719.     èè    è▄
  720.     è 2a╠ +èΣ [ (n+2)(n+1)a┬╟½ - na┬ ] vⁿ = 0
  721. èèèèèèèè n=0
  722.     
  723.     As this equation must be true for all v, ê first term must
  724.     be zero
  725.         èè2a╠ = 0èi.e.èa½ = 0
  726.  
  727.     The quantity ï ê bracket must be zero for all x which 
  728.     requires
  729.  
  730.         (n+2)(n+1)a┬╟½è- na┬è=è0
  731.  
  732.     Rearrangïg gives ê RECURSION RELATION
  733.         èèèèèèèn
  734.         a┬╟½ =è──────────── a┬èè n ≥ 1
  735.         èèèè (n+2)(n+1)
  736.  
  737.     Solvïg for ê first coefficients
  738.     èèèènèèèèèèèèa┬
  739.     èèè ───èè     èèèè────
  740.     èèèè1    a¼è=è1/(3)(2) a¬è=è1/6 a¬ 
  741.  
  742.     èèèè2    a«è=è2/(4)(3) a½è=è1/6 a½è=è0
  743.  
  744.     èèèè3èèè a╘è=è3/(5)(4) a¼è=è3/20 a¼è=è1/40 a¬
  745.  
  746.     èèIn this case, one ç ê two series termïates after one
  747.     term so ê general polynomial is a polynomial plus a 
  748.     constant.èThrough 3 non-zero terms ï ê series, 
  749.     ê general solution ï v is
  750.  
  751.         y =è a╙è+ a¬ [ v + 1/6 vÄ + 1/40 vÉ + ∙∙∙ ]
  752.  
  753.     èè This must be converted back ë ê origïal variable
  754.     x by ê transformation v = x + 1 which gives ê general
  755.     solution
  756.  
  757.         y =è a╙ + a¬ [ x+1 + 1/6 (x+1)Ä + 1/40 (x+1)É + ∙∙∙]
  758.  
  759. To evaluate ê constants, differentiate ê general solution
  760.     term-by-term
  761.  
  762.         y» =èa¬ [ 1 + 1/2 (x+1)ì + 1/8 (x+1)Å - ∙∙∙ ]
  763.     
  764.         y(0)è= a╙ = -3
  765.  
  766.         y»(0) = a¬ = 7
  767.  
  768.     Thus ê specific solution is
  769.  
  770.         y =è -3è+è7 [ x+1 + 1/6(x+1)Ä + 1/40(x+1)É - ∙∙∙ ]
  771.  
  772. ÇèC
  773.  
  774.  
  775.  
  776.  
  777.  
  778.  
  779.  
  780.  
  781.  
  782.